ЗНО 2016 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 33 завдання з параметром.

Posted by | · · · · · | ЗНО 11 математика | Комментариев к записи ЗНО 2016 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 33 завдання з параметром. нет

ЗНО 2016 математика. Задания, ответы, решение 33 вопроса с параметром.

ЗНО 2016 з математики. Завдання. (pdf)
ЗНО 2016 з математики. Відповіді. (pdf)

Завдання 33 тесту ЗНО з математики 2016 року звучить наступним чином:
розв’яжіть рівняння залежно від значень параметра a
\frac{\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}}{5 \cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x} = 0
Область допустимих значень (ОДЗ):
підкореневі вирази мають бути невід’ємні і знаменник не може дорівнювати нулю.
\sqrt{2a} \ge 0
\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}\ge 0
5 \cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x \ne 0
Звідки зразу можна сказати, що
a \ge 0
Дріб, у загальному випадку, дорівнює нулю, коли чисельник дорівню єнулю, а знаменник не дорівнює нулю.
Знайдемо загальний розв’язок рівняння, тобто коли чисельник дорівнює нулю.
\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a} = 0
\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}=2\sqrt{2a}
x^2+(4a-4)x+4a^2=8a
x^2+(4a-4)x+4a^2-8a = 0
D = (4a-4)^2 - 4 \cdot (4a^2-8a) = 16a^2-32a+16-16a^2+32a=16
\sqrt{D} = 4
x_{1} = \frac{4-4a-4}{2}=-2a
x_{2} = \frac{4-4a+4}{2}=4-2a
Тобто в загальному випадку маємо два корені.
Підставимо замість x ці корені у другу умову ОДЗ
\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}\ge 0
для
x_{1} =-2a
x^2+(4a-4)x+4a^2=
=(-2a)^2+(4a-4)(-2a)+4a^2 = 4a^2+4a^2-8a^2+8a \ge 0
при a \ge 0
для
x_{2} = 4-2a
x^2+(4a-4)x+4a^2 =
=(4-2a)^2+(4a-4)(4-2a)+4a^2 = 8a^2+8a \ge 0
при a \ge 0
Знайдемо значення параметра а, при якому знаменник перетворюється в нуль, які необхідно виключити із загального розв’язку.
Тобто розв’яжемо рівняння
5 \cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x = 0
Легко бачити, що в це рівняння входить 5 в степені x та 5 в степені 2x. Таке рівняння можна розв’язать, ввівши заміну
5^x = t
і рівняння зведеться до квадратного.
5 \cdot t^2+(1-5^a) \cdot t-\frac{5^a}{5} = 0
D = (1-5^a)^2+4 \cdot 5 \cdot \frac{5^a}{5}=5^{2a}+2 \cdot 5^a+1= (5^a+1)^2
t_{1}= \frac{5^a-1-5^a-1}{10} = \frac{-1}{5}
t_{2}= \frac{5^a-1+5^a+1}{10} = \frac{2 \cdot 5^a}{10} = 5^{a-1}
t_{1}= 5^x
\frac{-1}{5}= 5^x немає роз’язків
t_{2}= 5^x
5^{a-1}= 5^x
a-1=x
Отже, a \ne x+1, тобто при таких значеннях параметра знаменник перетворюється в нуль і їх треба виключити.
Підставимо знайдені раніше значення
x_{1} = -2a
x_{2} = 4-2a
у
a = x+1
і отримаєто
a = x_1+1=-2a+1
a \ne \frac {1}{3}
Тобто при
a = \frac {1}{3}
буде не два корені, а лише один
x=x_{2} = 4-2a = \frac{10}{3}=3 \frac{1}{3}
a = x_2+1=4-2a+1=5-2a
a \ne \frac {5}{3}
Тобто при
a = \frac {5}{3} = 1 \frac {2}{3}
буде не два корені, а лише один
x=x_{1} = -2a=- \frac{10}{3}=-3\frac{1}{3}
Відповідь:
при а менше нуля — рівняння не має змісту;
при a від нуля включно до 1/3 невключно в об’єднанні з проміжком від 1/3 невключно до 5/3 невключно в об’єднанні з проміжком від 5/3 невключно до нескінченності невключно —
два корені
x_{1} = -2a
x_{2} = 4-2a
при
a = \frac {1}{3}
один корінь
x=3 \frac{1}{3}
при
a = 1 \frac {2}{3}
один корінь
x=-3 \frac{1}{3}

ЗНО 2016 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 33 завдання з параметром.
5 5 votes


No Comments

Leave a comment