ЗНО 2015 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 36 завдання з параметором.

Posted by | · | ЗНО 11 математика | Комментариев к записи ЗНО 2015 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 36 завдання з параметором. нет

ЗНО 2015 математика. Задания, ответы, решение 36 вопроса с параметром.

ЗНО 2015 з математики. Завдання і офіційні відповіді. (pdf)

Завдання 36 тесту ЗНО з математики 2015 року звучить наступним чином:
при яких значеннях параметра a рівняння
\frac{(x^2-2(a+1)x+6a-3)(tg \pi {x}-1)}{\sqrt[4]{49x^2-84xa+36a^2}} = 0
має на проміжку [0;1] рівно два різні корені.

По-перше, перед тим, як приступити до аналізу коренів даного рівняння встановимо область допустимих значень (ОДЗ). В чисельнику присутня функція «тангенс», а аргумент тангенса не може дорівнювати \frac{\pi}{2} + \pi {n}, де n — ціле число. Знаменник не може довівнювати в нуль. Легко бачити, що знаменник можна подати у вигляді повного квадрату:
\frac{(x^2-2(a+1)x+6a-3)(tg\pi {x}-1)}{\sqrt[4]{(7x-6a)^2}} = 0
ОДЗ:
7x-6a \ne 0
\pi {x} \ne \frac{1}{2} \pi + \pi {n};x \ne \frac{1}{2} + n,
n є Z (належить ммножині цілих чисел);
x \ne \frac{1}{2},  \frac{3}{2},  \frac{5}{2}...
Тепер власне до основного питання цього завдання, тобто коли ми будемо мати рівно два корені. Сама конструкція виразу являє собою дріб, яких дорівнює нулю. Взагалі, дріб може дорівнювати нулю, якщо хоча б один один з множників в чисельнику дорівнює нулю.
Для початку проаналізуємо функцію
tg \pi {x} - 1
Дана функція дорівнює нулю
tg \pi {x}-1 = 0
при
x = \frac{1}{4} + {n}
і корінь
x = \frac{1}{4}
задовольняє умову задачі, щоб корені належали проміжку від нуля до одиниці включно. Отже, один корінь уже є.
Так як тангенс дає нам один корінь на потрібному проміжку, то вираз у першій дужці x^2-2(a+1)x+6a-3 повинен давати точно один корінь, який належить проміжку від нуля до одиниці включно. Розглянемо функцію
y = x^2-2(a+1)x+6a-3 .
Видно, що це парабола. Знайдемо її нулі, тобто розв’яжемо рівняння
x^2-2(a+1)x+6a-3 = 0
відносно x, вважаючи параметр а константою. Це саме звичайне квадратне рівняння, яке роз’язується через дискримінант.
x^2-2(a+1)x+6a-3 = 0
D = (2(a+1))^2-4(6a-3)=4(a^2+2a+1-6a+3)=4(a^2-4a+4)=4(a-2)^2
x_1=\frac{2(a+1) - 2 \sqrt{(a-2)^2}}{2}=3
x_2=\frac{2(a+1) + 2 \sqrt{(a-2)^2}}{2}=2a-1
Отже, наша парабола завжди буде перетинати вісь Ох в точці 3, а друга точка перетину вісі Ох, тобто корінь рівняння, залежить від значення паарметра а.
Так як нас цікавть випадок, щоб корінь рівняння x був в межах від нуля до одиниці включно, тобто то це можливо при значеннях параметра а від 0,5 до 1 включно.
Але можливий випадок, коли корінь, який дає тангенс (це 1/4) і корінь який дає функція
x^2-2(a+1)x+6a-3
будуть співпадати. Тобто виключимо значення параметра а, при якому розв’язком рівняння (нулем функції) буде значення x= \frac{1}{4}. Для цоього підставляємо
x= \frac{1}{4}
у
x=2a-1
і отримуємо значення параметра
a \ne \frac{5}{8},
який необхідно виключити, так як у даному випадку у нас будуть два однакові корені, а необхідно два різні корені.
Залишилося виключити значення параметра а, які не задовольняють область допустимих значень тангенса і знаменника. Тобто необхідно виключити значення параметра а, при яких
x= \frac{1}{2} та x= \frac{6a}{7}
Підставляємо
x= \frac{1}{2} у x=2a-1
отримуємо
a \ne \frac{3}{4}
Підставляємо
x= \frac{6a}{7} у x=2a-1
отримуємо
a \ne \frac{7}{8}
Таким чином, розв’язком даного рівняння є значення параметра а від 0,5 до 1 включно, за виключенням точок 5/8 (однакові корені, а потрібно два різні); 3/4 (ОДЗ тангенса); 7/8 (знаменник перетворюється в нуль).

ЗНО 2015 з математики. Завдання, відповіді. Розв’язання 36 завдання з параметором.
4.9 92 votes


No Comments

Leave a comment